1 . 如图，平面为中点，，，点为平面内动点，且到直线的距离为，则的最大值为__________.

2 . 已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）

3 . 在长方体中，，，M为棱的中点，动点P在面上运动，且满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求点P在长方形内的轨迹长度；
(3)求线段长度的最大值．

4 . 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似“伯努利双纽线”，在平面直角坐标系中，到两定点，的距离之积等于的点的轨迹C就是一条伯努利双纽线．已知点是双纽线C上的一点，下列说法中正确的序号是______．
   
①双纽线C关于x轴、y轴对称；       
②双纽线C上满足的点P有两个；
③；                           
④的最大值为．