2.1 曲线与方程练习题/试题及答案-高中数学人教A版选修2-1-组卷网

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2019·北京·高考真题

单选题 | 较难(0.4) |

基本（均值）不等式的应用点与曲线的位置关系由方程研究曲线的性质

真题名校

1 . 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：

就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．①

B．②

C．①②

D．①②③

2019-06-09更新 | 10408次组卷 | 59卷引用：2019年北京市高考数学试卷（理科）

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2022·福建福州·模拟预测

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求平面轨迹方程椭圆中存在定点满足某条件问题

名校

解题方法

定点问题

2 . 圆

：

与

轴的两个交点分别为

，

，点

为圆

上一动点，过

作

轴的垂线，垂足为

，点

满足

(1)求点

的轨迹方程；
(2)设点

的轨迹为曲线

，直线

交

于

，

两点，直线

与

交于点

，试问：是否存在一个定点

，当

变化时，

为等腰三角形

2022-06-03更新 | 2672次组卷 | 5卷引用：福建省福州格致中学2022届高三数学模拟试题

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2023·北京西城·三模

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

由直线与圆的位置关系求参数由方程研究曲线的性质

名校

解题方法

数形结合思想分类与整合思想

3 . 已知曲线

．
①若

为曲线

上一点，则

；
②曲线

在

处的切线斜率为0；
③

与曲线

有四个交点；
④直线

与曲线

无公共点当且仅当

．
其中所有正确结论的序号是_____________．

2023-06-01更新 | 1176次组卷 | 5卷引用：北京师范大学附属实验中学2023届高三三模数学试题

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2023·上海黄浦·三模

单选题 | 较难(0.4) |

判断命题的真假由方程研究曲线的性质

名校

4 . 曲线

：

，下列两个命题：
命题甲：当

时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；
命题乙：当k=2n，

时，曲线围成的面积总大于4；
下面说法正确的是（）

A．甲是真命题，乙是真命题	B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题	D．甲是假命题，乙是假命题

2023-06-05更新 | 803次组卷 | 5卷引用：上海市大同中学2023届高三三模数学试题

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一键出卷

21-22高三上·北京石景山·期末

填空题-单空题 | 困难(0.15) |

判断圆与圆的位置关系由圆与圆的位置关系确定圆的方程由方程研究曲线的性质圆的参数方程

名校

解题方法

数形结合思想

5 . 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为

的小圆在一个半径为

的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知

，起始位置时大圆与小圆的交点为

（

点为

轴正半轴上的点），滚动过程中

点形成的轨迹记为星形线

.有如下结论：

① 曲线

上任意两点间距离的最大值为

；
② 曲线

的周长大于曲线

的周长；
③ 曲线

与圆

有且仅有

个公共点.
其中正确的序号为________________.

2022-01-15更新 | 1405次组卷 | 6卷引用：北京市石景山区2022届高三上学期期末数学试题

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2023·上海青浦·一模

单选题 | 较难(0.4) |

判断命题的真假由方程研究曲线的性质

名校

6 . 定义：如果曲线段

可以一笔画出，那么称曲线段

为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段

由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段

为双轨道曲线．对于曲线

有如下命题：

存在常数

，使得曲线

为单轨道曲线；

存在常数

，使得曲线

为双轨道曲线．下列判断正确的是（）.

A．和均为真命题	B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题	D．为假命题，为真命题

2023-12-13更新 | 585次组卷 | 9卷引用：上海市青浦区2024届高三上学期期终学业质量调研数学试题

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23-24高二上·福建莆田·期中

多选题 | 较难(0.4) |

由方程研究曲线的性质求平面轨迹方程圆锥曲线新定义

名校

解题方法

面积问题范围问题

7 . 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设

、

是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足

的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（）

A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形

B．动点P的横坐标的取值范围是

C．

的取值范围是

D．

的面积的最大值为

2023-11-25更新 | 571次组卷 | 4卷引用：福建省莆田第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

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22-23高二上·上海浦东新·期末

单选题 | 较难(0.4) |

余弦定理解三角形已知数量积求模由方程研究曲线的性质求平面轨迹方程

名校

解题方法

范围问题

8 . 在平面上，定点

、

之间的距离

，曲线C是到定点

、

距离之积等于

的点的轨迹.以点

、

所在直线为x轴，线段

的中垂线为y轴，建立直角坐标系.已知点

是曲线C上一点，下列说法中正确的有（）
①曲线C是中心对称图形；
②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是

；
③曲线C上有两个点到点

、

距离相等；
④曲线C上的点到原点距离的最大值为

A．①②

B．①②④

C．①②③④

D．①③

2023-01-13更新 | 503次组卷 | 5卷引用：上海市进才中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

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18-19高一下·安徽六安·期末

填空题-单空题 | 困难(0.15) |

判断等差数列点与曲线的位置关系利用an与sn关系求通项或项

名校

解题方法

Sn和an关系法求数列通项

9 . 如图，曲线y²＝x（y≥0）上的点P₁与x轴的正半轴上的点Q_i及原点O构成一系列正三角形，△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…，△Q_n_﹣₁P_nQ_n…设正三角形Q_n_﹣₁P_nQ_n的边长为a_n，n∈N*（记Q₀为O），Q_n（S_n，0）.数列{a_n}的通项公式a_n＝_____.