1 . 利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式__________.

2 . 用数学归纳法证明时，第一步取________.

3 . 在数学归纳法证明等式“”时，某学生证明如下：（ⅰ）当时，左边，右边，原等式成立；（ⅱ）假设时等式成立，即，那么当时，，即当时，等式也成立.根据（ⅰ）、（ⅱ）可以判断，等式对任意都成立.评价该学生的证明情况：______（选填“正确”或“错误”）.

4 . 用数学归纳法证明的过程中，从到时，比共增加了_______项.

5 . 用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______.

6 . 用数学归纳法证明：时，在作归纳假设后，需要证明时命题成立，即证：______.

7 . 用数学归纳法证明能被31整除的过程中，当时，原式为______.

8 . 为正奇数时，求证：被整除，当第二步假设命题为真时，进而需证_______，命题为真．