真题
1 . 设
是定义在区间
上的函数，且满足条件：
①
；
②对任意的
，都有
．
(1)证明：对任意的
；
(2)判断函数
是否满足题设条件；
(3)在区间上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的，都有
，若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
是定义在区间上的函数，且满足条件：①
；②对任意的
，都有．(1)证明：对任意的
；(2)判断函数
是否满足题设条件；(3)在区间
上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的，都有，若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
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2 . 已知
是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为
，第n项之后各项
，
…的最小值记为
，
.
(1)若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，
)，写出
的值；
(2)设d为非负整数，证明：
(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列；
(3)证明：若
，
(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.
是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，.(1)若
为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值；(2)设d为非负整数，证明：
(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列；(3)证明：若
，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.
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2016-12-02更新
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2589次组卷
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6卷引用：2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）
3 . 已知集合
对于
，
，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明：
，且
;
（Ⅱ）证明：
三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P
，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为
(P).
证明：（P）≤
.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明：
，且;（Ⅱ）证明：
三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ) 设P
，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：
（P）≤.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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2016-11-30更新
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545次组卷
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4卷引用：2010年高考试题北京（理科）卷数学试题
2010年高考试题北京（理科）卷数学试题北京市第一七一中学2021-2022学年高二上学期数学期中调研试题（已下线）专题16 数列新定义题的解法 微点1 数列新定义题的解法（一）（已下线）第五篇 向量与几何 专题19 抽象距离 微点2 抽象距离——曼哈顿距离（二）
4 . 已知集合
对于
，
，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设
，求
，
；
（Ⅱ）证明：
，且
;
(Ⅲ) 证明：
三个数中至少有一个是偶数
对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设
，求，；（Ⅱ）证明：
，且;(Ⅲ) 证明：
三个数中至少有一个是偶数
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2016-11-30更新
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449次组卷
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4卷引用：2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）
