解题方法
1 . 现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，
记事件
第一次取到是红球
，事件
第一次取到了标记数字1的球，
事件
第一次取到了标记数字2的球，事件
第二次取到了标记数字1的球，
①求证：
；
②判断：
与
是否相互独立？请说明理由.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，
记事件
第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，事件
第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，①求证：
；②判断：
与是否相互独立？请说明理由.
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2023-11-21更新
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665次组卷
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5卷引用：云南省保山市、文山州2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题
云南省保山市、文山州2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题（已下线）考点10 各类事件的辨析 2024届高考数学考点总动员（已下线）模块二 专题5 概率中的创新问题广东省东莞市南城开心实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷10.2事件的相互独立性练习
名校
2 . 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望
，方差
，则对任意正数
，均有
成立.
（i）若
，证明：
；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
| 测试指标 |  |  |  |  |  |
| 元件数（件） | 12 | 18 | 36 | 30 | 4 |
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望
，方差，则对任意正数，均有成立.（i）若
，证明：；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
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2024-03-21更新
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2651次组卷
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6卷引用：云南省昆明市第三中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
云南省昆明市第三中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题辽宁省2024届高三下学期3+2+1模式新高考适应性统一考试数学试卷江苏省姜堰中学2024届高三下学期阶段性测试（2.5模）数学试题（已下线）第七章 随机变量及其分布（提升卷）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（已下线）浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题变式题16-19
3 . 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组
的个数是__________ ．
．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是
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2023-04-05更新
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2059次组卷
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9卷引用：云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二下学期月考二数学试卷
云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二下学期月考二数学试卷（已下线）第02讲 6.2.1排列+6.2.2排列数（3）（已下线）模块一专题1《排列与组合》单元检测篇B提升卷（已下线）模块五 专题6 全真拔高模拟6（已下线）6.2.1排列-6.2.2排列数——课堂例题（已下线）模块一 专题7《排列与组合》B提升卷（苏教版）江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题专题23计数原理与概率与统计（填空题）辽宁省大连市康考迪亚高级中学2022-2023学年高三二模拟数学试题
