1 . 给定一个由
个小正方形拼成的棋盘形方格，这些小正方形的颜色黑白相间（如图）.
现定义一种运算A：把位于第i行的所有小正方形和位于第j列的所有小正方形都换成相反的颜色，即黑色的小正方形换成白色的，白色的小正方形换成黑色的，这里
．我们把A称为在位于第i行第j列上的小正方形上的一次运算.试问：能否经过若干次上述运算把棋盘上的所有小正方形全部换成同一种颜色？证明你的结论.
个小正方形拼成的棋盘形方格，这些小正方形的颜色黑白相间（如图）.现定义一种运算A：把位于第i行的所有小正方形和位于第j列的所有小正方形都换成相反的颜色，即黑色的小正方形换成白色的，白色的小正方形换成黑色的，这里
．我们把A称为在位于第i行第j列上的小正方形上的一次运算.试问：能否经过若干次上述运算把棋盘上的所有小正方形全部换成同一种颜色？证明你的结论.
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2 . 设正数数列
，
，
，
满足：
（
=3，4，，
）且
，
.
（1）求，，
；
（2）证明，，，是自然数列，即
. （=1，2，，）
，，，满足：（=3，4，，）且，.（1）求
，，；（2）证明
，，，是自然数列，即. （=1，2，，）
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3 . 设整数
是区间
中的不同整数.证明：集合
有这样的子集存在，它的所有元素之和能被
整除.
是区间中的不同整数.证明：集合有这样的子集存在，它的所有元素之和能被整除.
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4 . 已知a、b、c为正实数.证明：
.
.
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2005高三·四川·竞赛
5 . 如图，
、
是
的两条高，
、
分别是
、
的中点，
是的外心.求证：
.
、是的两条高，、分别是、的中点，是的外心.求证：.
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6 . 已知：实数
满足
，且
.求证
.提示：先证
，再证
.
满足，且.求证.提示：先证，再证.
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2010高三·四川·竞赛
7 . 已知函数
．
（1）试判断函数
的奇偶性，并给出证明；
（2）求在
上的最小值与最大值．
．（1）试判断函数
的奇偶性，并给出证明；（2）求
在上的最小值与最大值．
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2013高三·四川·竞赛
8 . 若实数
满足
，则称
为的不动点.已知函数
，其中，
、
为常数．
（1）若
，求函数的单调递增区间；
（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；
（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
满足，则称为的不动点.已知函数，其中，、为常数．（1）若
，求函数的单调递增区间；（2）若
时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
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