1 . 甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色,首先,甲任选3条棱涂成红色,然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色,接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色,最后乙将余下的3条棱涂成绿色,如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红,甲就获胜,试问甲有必胜策略吗?说明理由.
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2 . 下列关于异面直线的断言正确的是( )
A.给定异面直线a,b,定长线段分别在a,b上滑动,则四面体的体积不变 |
B.设a,b为异面直线,夹角为θ,点A在a上,点B在b上,,与a,b的夹角分别是90°和α,则a,b之间的距离为 |
C.设a,b为异面直线,则空间内存在某些点P,使得过P的直线不可能与a,b均相交 |
D.存在两两异面的直线a,b,c和相交直线m,n,m与a,b,c均相交,n与a,b,c均相交 |
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3 . 证明:如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上,曲线的构造:作周长为的圆,在圆上取使的长度,并以为轴将旋转得弧,在圆上取,使的长度的长度,并以为轴将旋转度得弧,这样,由弧组成的曲线便是空间曲线.(如图所示)
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4 . 空间中的个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数互不相同的组,且,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形,要使这种三角形的总数最大,各组的点数应是多少?
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5 . 在三棱锥中,三条棱两两垂直,且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点,则到面距离的最大值为______ .
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6 . 已知三棱锥P-ABC的平面展开图中,四边形ABCD为边长等于的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:
(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;
(2)若点M为棱PA上一点且,求二面角P-BC-M的余弦值.
(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;
(2)若点M为棱PA上一点且,求二面角P-BC-M的余弦值.
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7 . 半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球,则大球的半径是________
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名校
8 . 下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成,将它沿虚线折起来,可以得到如右图所示的粽子形状的六面体,在这个六面体中,AB与CD夹角的余弦值是( ).
A.0 | B.1 | C. | D. |
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2019-01-29更新
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316次组卷
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2卷引用:2018年全国高中数学联赛天津市预赛
名校
9 . 如图,在四面体中,已知两两互相垂直,且,则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为( )
A. | B. |
C. | D. |
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10 . 四棱锥的底面是一个顶角为的菱形,每个侧面与底面的夹角都是,棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1,则棱锥的体积为______ .
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