1 . 已知函数．
(1)证明函数的图象过定点；
(2)设，且，讨论函数在上的最小值．

2 . 对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值．
(1)已知，．
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
(2)设，，求证：；
(3)在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）．

3 . 已知函数
(1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；
(2)设在区间上最大值为，求的解析式.

4 . 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：是的“4重覆盖函数”；
(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．

5 . 已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．

6 . 已知函数，．
(1)当，求a；
(2)当在上单调递增，问a的取值范围；
(3)设为和中的较小者，证明在上的最大值为．

7 . 已知函数．
(1)当时，写出的单调区间（无需证明）；
(2)当时，的最大值为，求实数的取值范围．

8 . 令.
(1)若，，试写出的解析式并求的最小值；
(2)已知是严格增函数，是周期函数，是严格减函数，，求证：是严格增函数的充要条件：对任意的，，.

9 . 已知函数．
(1)当时，判断并证明函数的奇偶性；
(2)求函数在上的最小值．

10 . 已知，，.
（1）若，求的最小值；
（2）设，，求证：；
（3）若存在实数，使得不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.