1 . 已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．

3 . 设为正整数，集合对于，设集合.
(1)若，写出集合；
(2)若，且满足令 ，求证： ；
(3)若，且 ，求证： .

4 . 已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列．
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列；
(2)在数列中，若，求证：当时，；
(3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列．

5 . 已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
(1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
(3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.

6 . 将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．
(1)分别写出数列的前2项；
(2)记数列的第项为．求证：当时，；
(3)若，求的值．