1 . 已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数．

2 . 数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，证明：.

3 . 已知，其中为常数.
（1）当时，求证：不等式恒成立；
（2）当时，记方程的两根为和，试判断与的大小，并证明.

4 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
（1）已知实数，均为正数，求证：.
（2）已知，都是正数，并且，求证：.

5 . 如图，在四棱锥中，，，，，，.

（1）求证：平面平面.
（2）设点为的中点，为棱的中点，且，证明：平面平面.

6 . 如图，棱柱，侧面为正方形，在底面中，，，,.
   
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使平面？证明你的结论.

7 . 已知函数，当时，恒有．当时，．
（1）求证：是奇函数；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）是否存在m，使对于任意恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

8 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
②求证：线段的长为定值.

9 . 已知数列满足，，.
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，，，求证.

10 . 已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.

（1）求证：四点共面，并证明∥平面.
（2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.