1 . 如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．

(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
（I）若，求直线的斜率；
（II）求证：是定值．

2 . 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点是双曲线上异于的两个不同点，且，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

3 . 已知数列满足且．
(1)若为等差数列，求其前项和；
(2)若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．

4 . 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为.
(1)求C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.

5 . 如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.

6 . 已知函数.
(1)若在上恒成立，求实数的最大值；
(2)若，求证：.

7 . 椭圆C：（）的左右焦点分别为，，上顶点为A，且，．

(1)求C的方程；
(2)若椭圆E：（且），则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：与两椭圆C，E交于4点（依次为M，N，P，Q，如图）．且，证明：点T（k，m）在定曲线上．

8 . 设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.

9 . 已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）．

(1)求C的方程；
(2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．

10 . 已知抛物线，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，点P为抛物线上异于A、B的任意一点，直线、分别与抛物线的准线相交于D、E两点，证明：以线段为直径的圆经过y轴上的两个定点．