1 . 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点.

2 . 已知椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A、B是x轴上的两个动点，且，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．

3 . 已知函数，．
(1)若，判断函数的单调性；
(2)当时，求函数的最小值，并证明：．

4 . 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线的斜率之和为定值．

6 . 已知椭圆的右焦点为．过且斜率为正数的直线交于两点，关于轴，轴的对称点分别为，且．
(1)求的方程；
(2)设直线交轴于点，直线与的另一交点为，证明：．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.

8 . 已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点

(1)求的方程；
(2)如图，过点作椭圆的切线交于两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：
①证明：点与点关于原点中心对称；
②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程.

9 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：．

10 . 已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，与分别是椭圆的左右顶点，点为上顶点.若直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：
是等腰三角形.