1 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，
①若
，求
；
②若
且
，求．
都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求
；(2)记
的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，①若
，求；②若
且，求．
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2 . “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A． |
| B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 |
C．记第n行的第i个数为 ，则 |
D．第20行中第8个数与第9个数之比为 |
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名校
3 . 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线
的方程
中，以
（
为非零的正实数）代替
得到曲线
的方程
，则称曲线
关于原点“伸缩”，变换
称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为
，伸缩比
，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线
的方程
，如果椭圆
经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且
，求椭圆的方程；
(3)对抛物线
，作变换
，得抛物线
；对作变换
，得抛物线
；如此进行下去，对抛物线
作变换
，得抛物线
，…若
，
，求数列
的通项公式
.
的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.(1)已知曲线
的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；(2)射线
的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程；(3)对抛物线
，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…若，，求数列的通项公式.
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2024-08-24更新
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255次组卷
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3卷引用：江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期5月模拟考试数学试卷（已下线）专题5 解析几何中的新定义压轴大题（三）【讲】
4 . 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
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5 . 某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字
的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则（ ）
的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则（ ）A． |
B． |
C． |
D． |
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解题方法
6 . 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ）
| A．第10行所有数字的和为1024 |
B． |
C．第6行所有数字的平方和等于 |
D．若第行第 个数记为，则 |
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7 . 已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若有两个零点.
①求
的取值范围；
②若函数
有两个极值点，求的取值范围.
.(1)讨论
的单调性；(2)若
有两个零点.①求
的取值范围；②若函数
有两个极值点，求的取值范围.
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8 . 某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，一共用了1540个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，则这位同学共堆积了______ 层．
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9 . 已知函数
．
(1)若函数
在点
处的切线与直线
垂直，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围．
．(1)若函数
在点处的切线与直线垂直，求a的值；(2)讨论函数
的单调性；(3)若
有两个零点，求a的取值范围．
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2024-08-05更新
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188次组卷
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2卷引用：江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷
解题方法
10 . 如图，在正方体
中，
，点
分别为
的中点，则平面
截正方体所得截面面积为__________ ，动点
满足
，且
，则当
取得最小值时二面角
的余弦值为__________ .
中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为
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