1 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足().
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，.

2 . 已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．

（1）求证：平面；
（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

3 . 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）求证：对任意正整数，都有（其中，为自然对数的底数）.

4 . 已知数列的首项，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）数列的前项和；
（3）求证：对于任意，数列的前项和．

5 . 已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，

直线与交于点M.
(1)求椭圆的方程；
(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；
(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．

6 . 已知定义域为的函数（，）
（1）设，求的单调区间；
（2）设为导数，
（i）证明：当，时，；
（ii）设关于的方程的根为，求证：

7 . 已知函数．
（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值；
（3）求证：．

8 . 已知.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）当，时，证明：函数只有一个零点；
（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.

9 . 已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．

10 . 已知函数的导函数．
（1）求证：曲线在点处的切线不过点；
（2）若在区间中存在，使得，求的取值范围；
（3）若，试证明：对任意恒成立．