1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF，连接OF交AD于点G．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝a，AF＝b，试用含a，b的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝5，sinB＝，求DG的长．

2 . 已知函数.
（1）若关于x的不等式对任意的正数x恒成立，求实数a的取值范围.
（2）证明：.

3 . 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为.

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；②求点的坐标.
（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围(直接写出结果即可).

4 . 已知椭圆E：y²＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA₀垂直于直线x＝4，垂足为A₀．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：直线A₀B恒过定点．

5 . 已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.

6 . 已知正项数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，证明：．

7 . 在正方体中，E，F分别是，CD的中点．求证：平面平面．

8 . 已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.

（1）证明：为定值；
（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.

9 . 已知，函数.
（1）若，证明：函数在区间上是单调增函数；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数的图像过原点，且的导数，当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值.

10 . 如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．

（1）求证：
（2）若，求二面角的余弦值．