2023高三·全国·专题练习
1 . 有1克重的砝码2枚，2克重和5克重的砝码各3枚，问用这8枚砝码能称哪几种重量的物体？各有多少种不同的称法？
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 
个人参加一次聚会，每人带来一顶帽子和一把雨伞，会后每人任取一顶帽子和一把雨伞．
(1)有多少种可能，使得没有人能拿回他原来的任意一件物品？
(2)有多少种可能，使得有人能拿回他原来的物品？
(3)有多少种可能，使得恰有1人拿回他原来的物品，而其余的
个人没有人能拿回他原来的任意一件物品？
个人参加一次聚会，每人带来一顶帽子和一把雨伞，会后每人任取一顶帽子和一把雨伞．(1)有多少种可能，使得没有人能拿回他原来的任意一件物品？
(2)有多少种可能，使得有人能拿回他原来的物品？
(3)有多少种可能，使得恰有1人拿回他原来的物品，而其余的
个人没有人能拿回他原来的任意一件物品？
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3 . 函数
．
(1)若
与
有相同的极小值点，求a的值；
(2)已知数列
满足：
，
；
①证明：存在等比数列
和唯一的公比q，使得
②设的前n项和为
，证明：
．
．(1)若
与有相同的极小值点，求a的值；(2)已知数列
满足：，；①证明：存在等比数列
和唯一的公比q，使得②设
的前n项和为，证明：．
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4 . 设数列
，即当
时，
．记
．
(1)写出
，
，
，
；
(2)令
，求数列
的通项公式；
(3)对于
，定义集合
，求集合
中元素的个数．
，即当时，．记．(1)写出
，，，；(2)令
，求数列的通项公式；(3)对于
，定义集合，求集合中元素的个数．
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5 . 给定正整数
，设
为n维
向量
的集合.对于集合M中的任意元素
和
，定义它们的内积为
.
设
.且集合
，对于A中任意元素
，
，若
则称A具有性质
.
(1)当
时，判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)当
时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出
，若不存在请证明；
(3)若集合A具有性质
，证明：
.
，设为n维向量的集合.对于集合M中的任意元素和，定义它们的内积为.设
.且集合，对于A中任意元素，，若则称A具有性质.(1)当
时，判断集合是否具有性质？说明理由；(2)当
时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出，若不存在请证明；(3)若集合A具有性质
，证明：.
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解题方法
6 . 已知
是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为
，第项之后各项
的最小值记为
，
．
(1)若为
，是一个周期为
的数列（即对任意
，
），写出
，
，
，
的值；
(2)设d是非负整数．证明：
（
）的充分必要条件为
是公差为d的等差数列；
(3)证明：若
，
（
），则
的项只能是
或者
，且有无穷多项为．
是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．(1)若
为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；(2)设d是非负整数．证明：
（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；(3)证明：若
，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．
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解题方法
7 . 在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田
中，
为
中点，
为
中点，三角形
区域种植小麦，梯形
区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，
为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为
的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为
，则（ ）（若直线
与抛物线
相切于点
，平行于的直线
与交于
两点，记
与围成的图形面积为
的面积为，则
）
中，为中点，为中点，三角形区域种植小麦，梯形区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为，则（ ）（若直线与抛物线相切于点，平行于的直线与交于两点，记与围成的图形面积为的面积为，则）A． | B． |
C． | D． |
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8 . 已知函数
，函数
，函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)若存在
，使得
成立，求实数a的取值范围；
(3)定义在I上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称函数是I上的有界函数，其中M称为函数在I的上界．讨论函数
在
上是否存在上界？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
，函数，函数．(1)求不等式
的解集；(2)若存在
，使得成立，求实数a的取值范围；(3)定义在I上的函数
，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数，其中M称为函数在I的上界．讨论函数在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
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9 . 设
，则对任意
有
．（1）
，则对任意有．（1）
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，有
（15）其中
表示不超过
