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1 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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2 . 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法.其基本思想是:通过对待排序序列从左往右,依次对相邻两个元素(,2,,)比较大小,若,则交换两个数的位置,使值较大的元素逐渐从左移向右,就如水底下的气泡一样逐渐向上冒,重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如:对于序列进行冒泡排序,首先比较,需要交换1次位置,得到新序列,然后比较,无需交换位置,最后比较,又需要交换1次位置,得到新序列,最终完成了冒泡排序.同样地,序列需要依次交换,完成冒泡排序.因此,和均是交换2次的序列.现在对任一个包含n个不等实数的序列进行冒泡排序(),设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为,只需要交换1次的序列个数为,只需要交换2次的序列个数为,则下列说法正确的有( )
A. | B. |
C. | D. |
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3 . 已知,,直线l:,动点P到l的距离为d,满足,设点P的轨迹为C,过点F作直线,交C于G,H两点,过点F作与垂直的直线,直线l与交于点K,连接AG,AH,分别交直线l于M,N两点.
(1)求C的方程;
(2)证明:;
(3)记,的面积分别为,,四边形AGKH的面积为,求的范围.
(1)求C的方程;
(2)证明:;
(3)记,的面积分别为,,四边形AGKH的面积为,求的范围.
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名校
解题方法
4 . 函数极限是现代数学中非常重要的概念,函数在处的极限定义如下:,存在正数,当时,均有,则称在处的极限为A,记为,例如:在处的极限为2,理由是:,存在正数,当时,均有,所以.已知函数,,(,为自然对数的底数).
(1)证明:在处的极限为;
(2)若,,,求的最大值;
(3)若,用函数极限的定义证明:.
(1)证明:在处的极限为;
(2)若,,,求的最大值;
(3)若,用函数极限的定义证明:.
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名校
5 . 已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,判断的零点个数,并证明结论;
(3)不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
(1)求的单调区间;
(2)当时,判断的零点个数,并证明结论;
(3)不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
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2024-04-20更新
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576次组卷
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2卷引用:重庆市四川外国语大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
6 . 已知函数.
(1)当时,求函数的极值.
(2)若函数有两个零点,试判断的正负并证明.
(1)当时,求函数的极值.
(2)若函数有两个零点,试判断的正负并证明.
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7 . 已知O为坐标原点,抛物线,过点的直线交抛物线于A,B两点,.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点,连接AD,BD,证明:;
(3)已知圆G以G为圆心,1为半径,过A作圆G的两条切线,与y轴分别交于点M,N且M,N位于x轴两侧,求面积的最小值.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点,连接AD,BD,证明:;
(3)已知圆G以G为圆心,1为半径,过A作圆G的两条切线,与y轴分别交于点M,N且M,N位于x轴两侧,求面积的最小值.
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2024-04-08更新
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1767次组卷
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5卷引用:重庆市渝北中学校2023-2024学年高三下学期5月月考质量监测数学试题
重庆市渝北中学校2023-2024学年高三下学期5月月考质量监测数学试题(已下线)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷(七)湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第三次高考模拟数学试题(已下线)数学(新高考卷03,新题型结构)(已下线)压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-2
名校
8 . 已知函数
(1)讨论的零点个数;
(2)当时,| 求a的取值范围.
(1)讨论的零点个数;
(2)当时,| 求a的取值范围.
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2024-04-04更新
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1337次组卷
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2卷引用:重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
9 . 设、是椭圆上的两点,点是线段的中点,线段的中垂线与椭圆交于,两点;
(1)求的方程,并确定的取值范围:
(2)判断是否存在,使、、、四点共圆,若存在,则写出圆的标准方程;若不存在,请说明原因.
(1)求的方程,并确定的取值范围:
(2)判断是否存在,使、、、四点共圆,若存在,则写出圆的标准方程;若不存在,请说明原因.
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名校
10 . 有一种速度叫“中国速度”,“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因,在修建高铁、公路、桥隧等基建中,我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.如图所示的光滑曲线上的曲线段AB,设其弧长为,曲线在A,B两点处的切线分别为,记的夹角为,定义为曲线段的平均曲率,定义为曲线在其上一点处的曲率.(其中为的导函数,为的导函数)
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为.
①求的值;
②设函数,若方程有两个不相等的实数根,证明:,其中为自然对数的底数,.
(1)若,求;
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为.
①求的值;
②设函数,若方程有两个不相等的实数根,证明:,其中为自然对数的底数,.
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