名校
解题方法
1 . 已知函数
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)设
是函数
的两个极值点，
（i）求a的取值范围
（ii）证明：
恒成立.
.(1)讨论函数
的单调区间；(2)设
是函数的两个极值点，（i）求a的取值范围
（ii）证明：
恒成立.
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2 . 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数
，若对在定义域内的给定常数
，存在数列
满足
在的定义域内且
，且对
在区间
的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于
和
的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数
，证明：
都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数
，数列为函数
的“1关联切线伴随数列”，且
，求的通项公式；
(3)若函数
，数列
为函数
的“
关联切线伴随数列”，记数列的前
项和为
，证明：当
时，
.
，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数
，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数
，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数
，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
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名校
3 . 已知
，
，则
的大小关系是（ ）
，，则的大小关系是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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解题方法
4 . 已知函数的定义域为
，则下列命题正确的是（ ）
的定义域为，则下列命题正确的是（ ）| A．为偶函数 | B．为 上减函数 |
C．若 ，则 为定值 | D．若 ，则 |
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5 . 定义两个维向量
，
的数量积
，
，记
为
的第k个分量（
且
）.如三维向量
，其中
的第2分量
.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，
，满足
（T为常数）且
.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
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2024-04-23更新
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629次组卷
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2卷引用：广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高三下学期第二学月质检数学试题
6 . 设函数
，
有唯一极值点
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
的图象上不存在关于直线
对称的两点，证明：
.
，有唯一极值点.(1)证明：
；(2)若
，求的取值范围；(3)若
的图象上不存在关于直线对称的两点，证明：.
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7 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，
的导函数分别为
，
，且
，则
；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数为区间
上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间
上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)记
，
；求证：
.
，的导函数分别为，，且，则；②设
，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：
；(3)记
，；求证：.
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2024-04-18更新
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383次组卷
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6卷引用：广东省广州市天河中学高中部2023-2024学年高二下学期基础测试数学试题
广东省广州市天河中学高中部2023-2024学年高二下学期基础测试数学试题广东省广州市天河中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）模块五 专题5 全真拔高模拟5（人教B版高二期中研习）黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（已下线）专题14 洛必达法则的应用【练】
8 . 已知椭圆
，点
是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点
为椭圆与
轴正半轴的顶点，且离心率为
，过点
的直线（与轴不重合）交椭圆
于
，
两点．
(1)求椭圆的标准方程，并求
面积的最大值；
(2)探究直线
和直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；
(3)若圆
的方程为
，直线，分别交圆于
，
两点，试证明：直线
恒过定点．
，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的顶点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．(1)求椭圆
的标准方程，并求面积的最大值；(2)探究直线
和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；(3)若圆
的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点．
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名校
9 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和直线族
的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上
两点作曲线的切线
，其交点为.已知点
，若
三点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆
是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点
不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线
上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
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2024-03-19更新
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1629次组卷
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5卷引用：广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题（已下线）第6题 设点or设线解决阿基米德三角形问题（压轴大题）（已下线）专题8 考前押题大猜想36-40（已下线）压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-4
解题方法
10 . 已知棱长为3的正方体
表面上动点满足
，则点的轨迹长度为______ ．
表面上动点满足，则点的轨迹长度为
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