1 . 称一个复数数列
为“有趣的”，若
，且对任意正整数n，均有
．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有
．
为“有趣的”，若，且对任意正整数n，均有．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有．
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2022-10-15更新
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244次组卷
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4卷引用：2019年全国高中数学联赛A卷
2 . 已知函数
，若对于正数
，直线
与函数
的图像恰好有
个不同的交点，则
___________ .
，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则
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2022-01-21更新
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2404次组卷
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8卷引用：江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题
江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题（已下线）专题02 函数的概念与基本初等函数I——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题上海市华东师范大学附属东昌中学2022届高三下学期阶段检测数学试题上海交通大学附属中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）-1山东省青岛第二中学2024届高三下学期期初阶段性练习数学试题天津市武清区杨村一中2020-2021学年高二下学期期末数学试题
3 . 对正整数n及实数
，定义
，其中
表示不超过实数x的最大整数，
．若整数
满足
，求
的值．
，定义，其中表示不超过实数x的最大整数，．若整数满足，求的值．
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4 . 集合
，
，
.若集合
中的所有元素都能用
中不超过9个的不同元素相加表示，求
，并构造
达到最小时对应的一个集合.
，，.若集合中的所有元素都能用中不超过9个的不同元素相加表示，求，并构造达到最小时对应的一个集合.
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5 . 已知
、
、
为大于3的整数，将
的立方体分割为
个单位正方体，从一角的单位正方体起第
层、第
行、第
列的单位正方体记为
．求所有有序六元数组
的个数，使得一只蚂蚁从
出发，经过每个小正方体恰一次到达
.【注】蚂蚁可以从一个单位正方体爬到另一个与之有公共面的相邻正方体．
、、为大于3的整数，将的立方体分割为个单位正方体，从一角的单位正方体起第层、第行、第列的单位正方体记为．求所有有序六元数组的个数，使得一只蚂蚁从出发，经过每个小正方体恰一次到达.【注】蚂蚁可以从一个单位正方体爬到另一个与之有公共面的相邻正方体．
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6 . 已知正实数
、
、
满足
．证明：对任意正实数
、
、
，有
．
、、满足．证明：对任意正实数、、，有．
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7 . 如图，在圆内接等腰梯形
中，已知
，对角线
、
交于点
，且图中各条线段长均为正整数，
，圆的半径
．
（1）求证：图中存在一个三角形，其三边长均为质数且组成等差数列；
（2）若给图中的线（包括圆、梯形、梯形的对角线）作点染色，使、、
染上红色，其他点染上红蓝色之一，求证：图中存在三个同色点，两两距离相等且长度为质数．
中，已知，对角线、交于点，且图中各条线段长均为正整数，，圆的半径．（1）求证：图中存在一个三角形，其三边长均为质数且组成等差数列；
（2）若给图中的线（包括圆、梯形、梯形的对角线）作点染色，使
、、染上红色，其他点染上红蓝色之一，求证：图中存在三个同色点，两两距离相等且长度为质数．
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8 . 已知定义在
上的函数
有
，且对于任意的
都有
，求证：对于大于1的有理数，及实数
，有
．
上的函数有，且对于任意的都有，求证：对于大于1的有理数，及实数，有．
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9 . 如图，设锐角
的外接圆的半径为，在内取外接圆的同心圆
，其半径为
，从圆上任取一点
，作
于点，
于点，
于点
．
（1）求证：
的面积为定值；
（2）猜想：当为任意三角形、同心圆为任意同心圆时，结论是否成立（不要求证明）？
的外接圆的半径为，在内取外接圆的同心圆，其半径为，从圆上任取一点，作于点，于点，于点．（1）求证：
的面积为定值；（2）猜想：当
为任意三角形、同心圆为任意同心圆时，结论是否成立（不要求证明）？
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10 . 试求出所有的正整数组
，使得
.
，使得.
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