1 . 已知．
求的单调区间和极值；
若对任意，均有恒成立，求正数a的取值范围．

2 . 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

3 . 如图所示，已知椭圆：，其中，，分别为其左，右焦点，点是椭圆上一点，，且．

（1）当，，且时，求的值；
（2）若，试求椭圆离心率的范围．

4 . 已知函数.
（1）若在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若，是函数的两个极值点，求证：.

5 . 已知函数.
（1）令，求函数的单调区间；
（2）若，正实数满足，证明：.

6 . 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围

7 . 已知函数（，为自然对数的底数）.
（1）若对于任意，总存在，使得成立，求的最小值；
（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.