1 . 已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是______.

2 . 设集合是由数列组成的集合，其中数列同时满足以下三个条件：
①数列共有项，；②；③
（1）若等比数列，求等比数列的首项、公比和项数；
（2）若等差数列是递增数列，并且，常数，求该数列的通项公式；
（3）若数列，常数，，求证：.

3 . 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.
（1）若，，，求方程在区间内的解集；
（2）若点是直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合.若恒成立，求实数的最大值；
（3）若函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”，求、和满足的充要条件.

4 . 若存在常数 k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得无穷数列 {a _n }满足a _{n +1}，则称数列{a_n }为“段差比数列”，其中常数 k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {b_n }为“段差比数列”．
（1）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、 d 、 t ．若 {b_n }是等比数列，求 d 、 t 的值；
（2）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n 项和为 S_3n ．若不等式 S_3n≤ λ ⋅ 3ⁿ⁻¹对 n ∈ N *恒成立，求实数 λ 的取值范围；
（3）是否存在首项为 b，段差为 d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {b_n }，对任意正整数 n 都有 b_n+6   = b_n ，若存在， 写出所有满足条件的 {b_n }的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．

5 . 已知数列满足，，.
（1）若，写出所有可能的值；
（2）若数列是递增数列，且、、成等差数列，求p的值；
（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.

6 . 若函数在内有两个零点，则实数的取值范围为_________

7 . 设函数的反函数为，若存在函数使得对函数定义域内的任意都有，则称函数为函数的“Inverse”函数.
（1）判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.
①；②；
（2）设函数存在反函数，证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为；
（3）设函数存在反函数，函数为的一个“Inverse”函数，记，其中，若对函数定义域内的任意都有，求所有满足条件的函数的解析式.

8 . 已知二次函数
（1）若且，是否存在实数，使当时，为正数？
（2）若，，且方程有两个不等的实根.证明：必有一实根在与之间.

9 . 对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数恒成立，则称数列是数列，若正数项数列，满足：对任意正整数恒成立，则称是数列；
（1）已知正数项数列是数列，且前五项分别为、、、、，求的值；
（2）若为常数，且是数列，求的最小值；
（3）对于下列两种情形，只要选作一种，满分分别是 ①分，②分，若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分.
① 证明：数列是等差数列的充要条件为“既是数列，又是数列”；
②证明：正数项数列是等比数列的充要条件为“数列既是数列，又是数列”.

10 . 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？
（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好， 或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？
（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.