1 . 甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，且每局比赛结果相互独立．
①若，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为____________；
②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为____________．

2 . 在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．

3 . 若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是______．

4 . 已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为__________.

5 . 已知正方形的四个顶点均在函数的图象上，若两点的横坐标分别为，则________．

6 . 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则__________.

8 . 正三棱锥，，点为侧棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为______.

9 . 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________．

10 . 若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是__________．