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解题方法
1 . 已知
，
(1)证明：当
时，
；
(2)令
，
（i）证明：当时，
；
（ii）是否存在正实数
，使得
恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由．
，(1)证明：当
时，；(2)令
，（i）证明：当
时，；（ii）是否存在正实数
，使得恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由．
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2 . 如图，
轴，垂足为D，点P在线段
上，且
．
上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为
，过点
作一条直线与
相交于
两点，与直线
交于点Q．记
的斜率分别为
，证明：
是定值．
轴，垂足为D，点P在线段上，且．
上运动时，求点P的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P的轨迹为
，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．
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3 . 已知圆
和点
，点
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线与线段
相交于点
，记点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)点
在直线
上运动，过点的动直线
与曲线相交于点
.
（ⅰ）若线段
上一点
，满足
，求证：当的坐标为
时，点在定直线上；
（ⅱ）过点
作
轴的垂线，垂足为
，设直线
的斜率分别为
，当直线过点
时，是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)点
在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点.（ⅰ）若线段
上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上；（ⅱ）过点
作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2024·全国·模拟预测
4 . 已知离心率为
的椭圆
的左、右顶点分别为
，点为椭圆上的动点，且
面积的最大值为
．直线
与椭圆交于
两点，点
，直线
分别交椭圆于
两点，过点
作直线
的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为
，证明：
为定值．
(3)试问：是否存在定点
，使
为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．(1)求椭圆
的方程．(2)记直线
的斜率为，证明：为定值．(3)试问：是否存在定点
，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
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458次组卷
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4卷引用：2024年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学（一）
（已下线）2024年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学（一）重庆市开州中学2024届高三下学期高考模拟考试（二）数学试题河南省漯河市高级中学2024届高三下学期5月月考数学试题（已下线）情境12 结论未知的证明命题
2024·全国·模拟预测
5 . 如图（1），在
中，
，
，点为
的中点．将
沿
折起到
的位置，使
，如图（2）．
．
(2)在线段
上是否存在点
，使得
？若存在，求二面角
的余弦值；若不存在，说明理由．
中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．
．(2)在线段
上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由．
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6 . 在中，角
所对的边分别为
，已知
.点在线段
上，且平分
.
(1)求证：
；
(2)求的长度.
中，角所对的边分别为，已知.点在线段上，且平分.(1)求证：
；(2)求
的长度.
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28次组卷
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2卷引用：陕西省部分学校2024届高三下学期5月份高考适应性考试理科数学试题
解题方法
7 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数
在闭区间
上的图象连续不断，在开区间
内的导数为
，那么在区间内存在点
，使得
成立．设
，其中
为自然对数的底数，
．易知，在实数集
上有唯一零点
，且
．
时，
；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个
作为的初始近似值，使得
，然后在点
处作曲线
的切线，切线与轴的交点的横坐标为
，称是的一次近似值；在点
处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为
，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列
．
①当
时，证明：
；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且
．请以此为前提条件，证明：
．
在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．
时，；(2)从图形上看，函数
的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．①当
时，证明：；②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．
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解题方法
8 . 如图，几何体
为直四棱柱
截去一个角所得，四边形
是菱形，
，点为棱的中点．
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
为直四棱柱截去一个角所得，四边形是菱形，，点为棱的中点．
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值．
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165次组卷
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3卷引用：海南省2022届高三高考全真模拟卷（四）数学试题
解题方法
9 . 函数
、
的定义域均为
，若对任意两个不同的实数
，
，均有
或
成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数
与
是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知
与
为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数
，均有
.求证：存在实数
，使得对任意
，均有
.
、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.(1)判断函数
与是否为相关函数对，并说明理由；(2)已知
与为相关函数对，求实数的取值范围；(3)已知函数
与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
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10 . 对于定义在上的函数
，若存在距离为
的两条平行直线
和
，使得对任意的
都有
，则称函数
有一个宽度为的通道，
与
分别叫做函数的通道下界与通道上界．
(1)若
，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
(2)若
，证明：
存在宽度为2的通道；
(3)探究
是否存在宽度为
的通道？并说明理由．
上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界．(1)若
，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；(2)若
，证明：存在宽度为2的通道；(3)探究
是否存在宽度为的通道？并说明理由．
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