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1 . 已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
．（
且
）
．(1)求
的单调区间；(2)若
恒成立，求实数的取值范围；(3)求证：
．（且）
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解题方法
2 . 已知椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆
的方程和短轴长；
(2)设直线
与椭圆相切于第一象限内的点
，不过原点
且平行于
的直线
与椭圆交于不同的两点A，B，点
关于原点的对称点为
．记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求
的值．
的离心率为．(1)求椭圆
的方程和短轴长；(2)设直线
与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
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3 . 已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点
，求证：
．
．(1)若
，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数
存在两个不同的极值点，求证：．
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4 . 已知数列
的前
项和为
，
．
(1)求
的值；
(2)证明数列
是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．
的前项和为，．(1)求
的值；(2)证明数列
是等比数列，并求出数列的通项公式；(3)数列
中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．
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解题方法
5 . 已知
，其中
．
(1)当
，
时，
①任意写出的一条对称轴；
②求证：
；
(2)若对任意
，，求
所能取到的最小值和最大值，并说明理由．
，其中．(1)当
，时，①任意写出
的一条对称轴；②求证：
；(2)若对任意
，，求所能取到的最小值和最大值，并说明理由．
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6 . 已知
为实数集的一个非空子集，称
是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①
，
；
②
，
；
③
，
，使得
；
④，
，使得
．
例如
是一个无限元加法群，
是一个单元素加法群．
(1)令
，
，分别判断
，
是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合
，并且
，有
，求证：
是一个加法群；
(3)已知非空集合
，并且
，有
，求证：存在
，使得
．
为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：①
，；②
，；③
，，使得；④
，，使得．例如
是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．(1)令
，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；(2)已知非空集合
，并且，有，求证：是一个加法群；(3)已知非空集合
，并且，有，求证：存在，使得．
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7 . 已知
，函数
，
为的导函数．
(1)当
时，求函数的单调区间；
(2)记
，讨论
在区间
上的零点个数．
，函数，为的导函数．(1)当
时，求函数的单调区间；(2)记
，讨论在区间上的零点个数．
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8 . 已知
为实数，函数
．
(1)当时，求曲线
在点
处的切线的方程；
(2)当时，求函数
的极小值点；
(3)当
时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
为实数，函数．(1)当
时，求曲线在点处的切线的方程；(2)当
时，求函数的极小值点；(3)当
时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
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解题方法
9 . 设
，若非空集合
同时满足以下4个条件，则称是“
无和划分”:
①
；
②
；
③
，且中的最小元素大于
中的最小元素；
④
，必有
.
(1)若
，判断是否是“
无和划分”，并说明理由.
(2)已知是“无和划分”（
）.
①证明:对于任意
，都有
；
②若存在
，使得
，记
,证明：
中的所有奇数都属于.
，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”:①
；②
；③
，且中的最小元素大于中的最小元素；④
，必有.(1)若
，判断是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知
是“无和划分”（）.①证明:对于任意
，都有；②若存在
，使得，记,证明：中的所有奇数都属于.
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7日内更新
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88次组卷
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2卷引用：北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期末练习数学试卷
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解题方法
10 . 已知椭圆 
的离心率为
，其长轴的两个端点分别为
，
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线
交直线
于点，点 为坐标原点：过点且与直线
垂直的直线记为
，直线
交
轴于点
，交直线于点
，问：是否存在点使得
与
的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
的离心率为，其长轴的两个端点分别为，.(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
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