1 . 已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.

2 . 在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，.求的面积.

3 . 已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.
(1)若点为上一动点，求的最大值与最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知数列满足，．

(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．

5 . 2023年12月31日的下午，某班级在学校的多功能厅，以“庆元旦迎新年”为主题举办联欢会．为了鼓励班级的同学积极参与活动，组委会准备在联欢会上搞一个抽奖活动，凡是上台表演节目的同学最多有3次抽奖机会（没有上台表演的同学没有抽奖机会）．每次抽中，可依次获得5元，10元，20元的礼品，若没有抽中，不可继续抽奖．每次抽中后，可以选择带走抽中的所有礼品，结束抽奖，也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得礼品全部归零，结束抽奖．已知参加本次抽奖活动的同学每次抽中的概率依次为，，，且每个同学选择继续抽奖的概率依次是和．小张同学准备在这次活动中表演一个单口相声，并参与抽奖活动．

(1)求小张同学第一次抽中但最终所得礼品归零的概率；
(2)设小张同学所得礼品的金额总数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)组委会已经筹集到用于购买礼品的专项资金200元，如果当天有32名同学上台表演，问已经筹集到的专项资金是否够用？

6 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点， 使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知（且）是指数函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2)求函数在区间上零点的个数.

8 . 如图，在四棱锥 中，四边形是等腰梯形，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，且，求二面角的正弦值．

9 . 在平面直角坐标系中，角的终边经过点.
(1)求，的值
(2)求的值.

10 . 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表：

零件尺寸X		1.01	1.02	1.03	1.04	1.05
零件个数Y	甲	6	14	17	17	6
	乙	m	8	8	8	22

由表中数据得Y关于X的线性回归方程为，其中合格零件尺寸为．
(1)求的值；
(2)是否有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关？
附：，．

	0.10	0.05	0.01
k	2.706	3.841	6.635