1 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.

2 . 若集合的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.
(1)求的值；
(2)若是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；
(3)求的值.

4 . 设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.

5 . 对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就会产生同余的概念.关于同余的概念如下：用给定的正整数分别除整数，若所得的余数（小于正整数的自然数，即0，1，）相等，则称对模同余，记作.例如：因为，，所以；因为，所以.表示对模同余关系的式子叫做模的同余式，简称同余式，同余式的记号是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数，正整数，若，则，.阅读上述材料，解决下列问题：
(1)若，且整数，求的值；
(2)已知整数，正整数，证明：若，则；
(3)若，其中为正整数，为非负整数，证明：能被11整除的充要条件为能被11整除.

7 . 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．
(1)已知，求；
(2)已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以．
类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）