1 . 已知数列，为其前项的和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当，时；
（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值.

2 . 已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当（）时，该图象是斜率为的线段，其中常数且，数列由（）定义.
（1）若，求，；
（2）求的表达式及的解析式（不必求的定义域）；
（3）当时，求的定义域，并证明的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点.

3 . 已知二次函数的图象的顶点坐标为,且过坐标原点O,数列的前n项和为,点()在二次函数的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(),数列的前n项和为,若对恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,,,,…,…(),这些项能够依次构成以为首项,q(,)为公比的等比数列?若存在,写出关于k的表达式;若不存在,说明理由.

4 . 一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图，的坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程.

(1)点为抛物线准线上一点，点，均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；
(2)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(不需证明)；
(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的值.

5 . 已知数列的通项公式为，其中，、.
(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.
(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.
(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.

6 . 若数列满足则称为数列.记
（1）若为数列,且试写出的所有可能值；
（2）若为数列，且求的最大值；
（3）对任意给定的正整数是否存在数列使得？若存在，写出满足条件的一个数列；若不存在，请说明理由.

7 . 已知数列 ，为其前项的和，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；
（3）（理）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值．
（4）（文）若函数的定义域为，并且，求证．

8 . 设数列 的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.
（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，， ；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.

9 . 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于的方程有四个不同的解，求实数应满足的条件；
（3）在（2）条件下，若成等比数列，用表示t.

10 . 已知表示不小于的最小整数，例如.
（1）设,,若，求实数的取值范围；
（2）设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；
（3）设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.