名校
解题方法
1 . 1.设数列
中前两项
、
给定，若对于每个正整数
，均存在正整数
使得
，则称数列
为“
数列”.
(1)若数列为
、
的等比数列，当时，试问
与
是否相等，并说明数列是否为“数列”﹔
(2)讨论首项为、公差为
的等差数列是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为“数列”，且
，
，记
，其中正整数
，对于每个正整数，当正整数
分别取1、2、…、
时，
的最大值记为
，最小值记为
，设
，当正整数
满足
时，比较
与
的大小，并求出的最大值.
中前两项、给定，若对于每个正整数，均存在正整数使得，则称数列为“数列”.(1)若数列
为、的等比数列，当时，试问与是否相等，并说明数列是否为“数列”﹔(2)讨论首项为
、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由；(3)已知数列
为“数列”，且，，记，其中正整数，对于每个正整数，当正整数分别取1、2、…、时，的最大值记为，最小值记为，设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值.
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2021-12-10更新
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789次组卷
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4卷引用：江西省安福中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学（理）试题
江西省安福中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学（理）试题上海市上海师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题上海市格致中学2022届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题03 《数列》中的压轴题-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
2 . 已知函数
满足
，当
时，
．
（1）当
时，求函数的图像与x轴所围成的图形面积；
（2）当
时，求函数的最大值；
（3）当
时，函数
与的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依次记为
、
、
、…，数列
是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的m值，若不可能请说明理由．
满足，当时，．（1）当
时，求函数的图像与x轴所围成的图形面积；（2）当
时，求函数的最大值；（3）当
时，函数与的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依次记为、、、…，数列是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的m值，若不可能请说明理由．
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名校
3 . 已知有限数列
：，，…，
，将其中相邻的两项
，
或尾首两项，加上同一个实数
称为一次操作，分别记为
，
，操作后的数列仍用：，，…，表示，若经过有限次操作后（每次操作所加实数均可任意选取），数列可以变为常数列，则称数列可等，称上述操作的次数的最小值为数列的阶．
（Ⅰ）已知数列
：1，2，3，数列
：1．2，3，4，数列
：1，2，3，4，5，写出其中所有的可等数列，并求其阶；
（Ⅱ）已知数列
是1，2，3，4，5，6的一个排列，数列
是1，2，3，…．7，8的一个排列，求上述数列中可等数列的阶的最小值；
（Ⅲ）已知数列
是1，2，3，…，8，9的一个排列，求上述数列中可等数列的阶的最大值与最小值．
：，，…，，将其中相邻的两项，或尾首两项，加上同一个实数称为一次操作，分别记为，，操作后的数列仍用：，，…，表示，若经过有限次操作后（每次操作所加实数均可任意选取），数列可以变为常数列，则称数列可等，称上述操作的次数的最小值为数列的阶．（Ⅰ）已知数列
：1，2，3，数列：1．2，3，4，数列：1，2，3，4，5，写出其中所有的可等数列，并求其阶；（Ⅱ）已知数列
是1，2，3，4，5，6的一个排列，数列是1，2，3，…．7，8的一个排列，求上述数列中可等数列的阶的最小值；（Ⅲ）已知数列
是1，2，3，…，8，9的一个排列，求上述数列中可等数列的阶的最大值与最小值．
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4 . 给定正整数
，对于一个由个非负整数构成的数列：
，如果存在非负整数
，
，使得
，且
，则称数列为“数列”.
（Ⅰ）判断数列
：1，2，3，4和
：1，3，4，2是否为“数列”；
（Ⅱ）若数列：为“数列”，求证：
为定值；
（Ⅲ）求所有正整数，使得存在1，2，…，的一个排列：，且为“数列”.
，对于一个由个非负整数构成的数列：，如果存在非负整数，，使得，且，则称数列为“数列”.（Ⅰ）判断数列
：1，2，3，4和：1，3，4，2是否为“数列”；（Ⅱ）若数列
：为“数列”，求证：为定值；（Ⅲ）求所有正整数
，使得存在1，2，…，的一个排列：，且为“数列”.
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5 . 已知无穷数列{an}，对于m∈N*，若{an}同时满足以下三个条件，则称数列{an}具有性质P(m)．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
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2021-05-02更新
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1137次组卷
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5卷引用：北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题
6 . 已知正整数数列满足：
，
，
.
（1）已知
，
，求
和
的值；
（2）若
，求证
；
（3）求
的取值范围.
满足：，，.（1）已知
，，求和的值；（2）若
，求证；（3）求
的取值范围.
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2021-03-22更新
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1027次组卷
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4卷引用：上海市建平中学2021届高三下学期开学考试数学试题
上海市建平中学2021届高三下学期开学考试数学试题浙江省2021届高三4月份高考数学模拟试题（10）（已下线）考向18 数列不等式-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）模块九 数列-2
名校
7 . 已知数列
满足：
，设
，数列
的前项和为
，则下列选项正确的是
（ ）
满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）A．数列 单调递增，数列 单调递减 | B． |
C． | D． |
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2021-01-25更新
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1827次组卷
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6卷引用：江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测考前热身数学试题
江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测考前热身数学试题山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期期末数学试题江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期二模数学试题江苏省南京五中2021届高三下学期一模热身测试数学试题（已下线）第4章 数列 单元综合检测（难点）（单元培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）压轴小题1 递推数列综合问题（4月）
8 . 设数列的前项和为，，
(
)，
(
，
).且､均为等差数列，则
_________ .
的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则
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2020-12-03更新
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1262次组卷
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4卷引用：浙江省宁波市北仑中学2021-2022学年高三上学期返校考试数学试题
9 . 已知项数为
的数列满足如下条件：①
；②
若数列满足
其中
则称为的“伴随数列”.
（I）数列
是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II）若为的“伴随数列”，证明：
；
（III）已知数列存在“伴随数列”
且
求
的最大值.
的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.（I）数列
是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II）若
为的“伴随数列”，证明：；（III）已知数列
存在“伴随数列”且求的最大值.
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2020-05-28更新
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906次组卷
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8卷引用：北京市第四中学2021届高三下学期开学考试数学试题
（已下线）北京市第四中学2021届高三下学期开学考试数学试题北京市陈经纶中学2020届高三下学期开学考试数学试题2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题2020届北京市平谷区高三第二次模拟考试数学试题北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）数学试题（已下线）数学-6月大数据精选模拟卷05（上海卷）（满分冲刺篇）（已下线）专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）北京市第三十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题
名校
10 . 已知数列的各项均为正值，
对任意
，
都成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令
，求数列
的前项和
;
(3)当
且
时，证明对任意
都有
成立.
的各项均为正值，对任意，都成立.(1)求数列
、的通项公式；(2)令
，求数列的前项和;(3)当
且时，证明对任意都有成立.
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2019-10-02更新
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1331次组卷
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4卷引用：江西省吉安市吉安县第三中学、安福二中2021-2022学年上学期高二入学考试数学试题
江西省吉安市吉安县第三中学、安福二中2021-2022学年上学期高二入学考试数学试题江西省新余市第四中学2017-2018学年高二上学期第二次段考数学（理）试题江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学（理）试题（已下线）专题11 数列前n项和的求法 微点10 数列前n项和的求法综合训练
