1 . 学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.

2 . 已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.

3 . 设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，，均成立．

(1)求的所有可能值；
(2)若数列使得无穷数列，，，…，，…是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
(3)求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2024．

4 . 已知数列满足，
(1)求证：数列为等差数列;
(2)求数列的通项公式与最大值.

5 . 已知数列满足：，．
(1)求证是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求使不等式成立的所有正整数m，n的值．

6 . 已知是数列的前项和，且满足，
(1)记，求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和

7 . 已知数列满足，（），令.
(1)求的值；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.

8 . 已知数列中，，，记
(1)求证：数列是等差数列，并求出；
(2)设，求；
(3)若，对任意的恒成立，求的取值范围.

9 . 已知正项数列的前项和为，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，证明.

10 . 已知公差大于0的等差数列的前项和，且满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是等差数列，且，求非零常数；
(3)若（2）中的的前项和，求证：.