1 . 已知数列中，，.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，是数列的前n项和，求证：.

2 . 在单调递增数列中, ,且成等差数列, 成等比数列，.
（1）①求证：数列为等差数列；
②求数列通项公式；
（2）设数列的前项和为,证明:.

3 . 在数列中，，都有成立.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.

4 . 在数列中，．

(1)证明：数列为常数列．
(2)若，求数列的前项和．

5 . 已知数列为等差数列，为的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.

6 . 已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：.

7 . 已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

8 . 已知数列的前项和为，满足：．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

9 . 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)求与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：

10 . 已知正项数列的前n项和为，其中．
(1)求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；
(2)证明：当时，．