1 . 过曲线
：
上的点
作曲线的切线
与曲线交于
，过点
作曲线的切线
与曲线交于点
，依此类推，可得到点列：
，已知
．
(1)求点，
的坐标；
(2)求数列
的通项公式；
(3)记点
到直线
（即直线
）的距离为
，求证：
．
：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知．(1)求点
，的坐标；(2)求数列
的通项公式；(3)记点
到直线（即直线）的距离为，求证：．
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解题方法
2 . 已知正项数列
的前
项和为
，且满足
.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：当
时，
.
的前项和为，且满足.(1)求数列
的通项公式；(2)求证：当
时，.
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2024-03-23更新
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309次组卷
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2卷引用：第六届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）
3 . 在
平面上有一系列的点
，对于正整数，点位于函数
的图象上，以点为圆心的
与
轴相切，且与
又彼此外切，若，且
．
(1)判断数列
是否为等差数列；
(2)设的面积为
，求证：
．
平面上有一系列的点，对于正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且．(1)判断数列
是否为等差数列；(2)设
的面积为，求证：．
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解题方法
4 . 已知函数
.数列
.
(1)请判断方程
在区间
上的根的个数，并说明理由；
(2)
是否是轴对称函数，如果是，求出对称轴；若不是，说明理由；
(3)求证：
.
.数列.(1)请判断方程
在区间上的根的个数，并说明理由；(2)
是否是轴对称函数，如果是，求出对称轴；若不是，说明理由；(3)求证：
.
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解题方法
5 . 在数列中，点
在直线
上，数列
满足条件：
，
．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若
，求
成立的正整数的最小值．
中，点在直线上，数列满足条件：，．(1)求证：数列
是等比数列；(2)若
，求成立的正整数的最小值．
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6 . 已知数列满足：
．
(1)求的通项公式；
(2)记
，
（i）求
的值；
（ii）求证：
．
满足：．(1)求
的通项公式；(2)记
，（i）求
的值；（ii）求证：
．
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解题方法
7 . 设函数为
上的增函数，令
．
(1)判断并证明
在上的单调性；(2)若
，判断
与2的大小关系并证明；(3)若数列
的通项公式为
，试问是否存在正整数，使
取得最值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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8 . 已知圆
过定点
，圆心在抛物线
上运动，
为圆在
轴上截得的弦．
(1)试判断的长是否随圆心的运动而变化．并证明你的结论；
(2)当
是
与
的等差中项时，抛物线的准线与圆有怎样的位置关系？并说明理由．
过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在轴上截得的弦．(1)试判断
的长是否随圆心的运动而变化．并证明你的结论；(2)当
是与的等差中项时，抛物线的准线与圆有怎样的位置关系？并说明理由．
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解题方法
9 . 设数列
满足：
，
，且
，
对
成立.
(1)证明：
是等比数列；
(2)求和的通项公式.
满足：，，且，对成立.(1)证明：
是等比数列；(2)求
和的通项公式.
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名校
解题方法
10 . 各项不为0的数列满足
，且
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
满足，且.(1)求证：数列
为等差数列；(2)若
对任意恒成立，求实数的取值范围.
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2023-03-03更新
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1620次组卷
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5卷引用：湖南省湘西州吉首市2023年第二届中小学生教师解题大赛数学试题
