1 . 如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则______．

2 . 对任意的正整数，直线：恒过定点，则这个定点的坐标为______，若点在直线上，则数列的前10项和为______.

3 . 潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为__________.

4 . 数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为__________．

5 . 若数列的前n项和，且对任意的正整数n，有，则___________，___________．

6 . 已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的取值范围为______.

7 . 记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.

8 . 已知数列满足．
（1）若，则___________；
（2）若对任意正实数t，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的取值范围是___________．

9 . 已知数列中，，，则通项公式______.

10 . 已知数列满足，，则________．