1 . 设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为.
(1)时，求的取值范围；
(2)时，求的取值范围；
(3)时，求的取值范围.

2 . 如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，

(1)证明：平面平面；
(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．

3 . 如图，平面四边形中，是等边三角形，且是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（       ）

A．存在某个位置，使得与所成角为锐角

B．棱上总恰有一点，使得平面

C．当三棱锥的体积最大时，

D．当二面角为直角时，三棱锥的外接球的表面积是

4 . 如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，．

(1)当k为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心；
(2)若，当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．

5 . 双层的温室大棚具有很好的保温效果，某农业合作公司欲制作这样的大棚用于蔬菜的种植，如图（1）所示，工人师傅在地面上画出一个圆，然后用钢丝网编织出一个网状空心球的上部分钢结构，使得地面上的圆为空心球的一个截面圆，同时在其外部用塑料薄膜覆盖起来作外部保温.如图（1）所示，用塑料薄膜覆盖起来的内部保温层钢结构为一个圆柱面，制作方法如下：工人师傅将圆柱面的下底面圆置于球O在地面上的截面圆内（可与截面圆重合），把下底面的圆心固定在球O在地面上截面圆的圆心位置上，圆柱面的上底面圆的圆周固定在球的内壁上，已知球O的半径为3．如图（2），取圆柱的轴截面为矩形PQRS，．

(1)设为圆上任意一点，RO与底面所成的角为，将圆柱体积V表示为的函数并判断的范围；
(2)求V的最大值．

6 . 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是___________（填入正确结论对应的序号）.

①设向量旋转后的向量为，则
②点的轨迹是以为半径的圆
③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是
④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是

7 . 甲烷是最简单的有机物，甲烷分子是由一个碳和四个氢原子组成，呈正四面体结构，如图是甲烷分子结构的球棍模型，表示碳原子的黑球球心位于正四面体的中心，表示氢原子的白球球心分别为正四面体的四个顶点.若模型中白球半径为1cm，任意两个白球球心距为，则下列正确的是（       ）

A．模型中黑球球心与白球球心距是

B．如图摆放模型高度为

C．模型中黑球半径最大是

D．给如图模型做一个正四面体形状的包装盒，包装盒棱长最小为

8 . 已知正方体的棱长为1，中心为O，P是面ABCD内一动点，则下列命题中正确的有（       ）

A．若，且，则P，，C，四点共面

B．存在唯一的点P，使得，且

C．若点P到直线BC的距离与到直线的距离相等，则的最小值为

D．若，Q，R分别为面的内切圆和面的内切圆上的点，则周长的最大值为

9 . 已知正方体的棱长为a，E､F分别为棱､的中点，P为体对角线所在直线上一动点.

(1)作出该正方体过点E､F且和直线垂直的截面，并证明该截面和直线垂直；
(2)求出△EFP绕直线EF旋转而成的几何体体积的最小值；
(3)若动点M在直线EF上运动，动点N在平面上运动，求的最小值.

10 . 如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.