1 . 已知复数，（其中）.
(1)若为实数，求的值；
(2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值.

2 . 已知复数，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模．

3 . 已知复数，其中为虚数单位，.
(1)若在复平面内复数位于第二象限，求实数的取值范围；
(2)当时，是方程的一个根，求和的值.

4 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.
材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将写成三角形式；
(2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；
(3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值.

5 . 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)计算：的值.

6 . 已知复数，
(1)求;
(2)若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．

7 . 若复数，为虚数单位，为实数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．

8 . 已知复数，，其中.
(1)若，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值.

9 . 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）
(1)求实数及；
(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

10 . 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限．
(1)求z；
(2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB．