1 . 对于数集，其中,.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.例如具有性质.
(1)若，且具有性质,求的值;
(2)若具有性质，求证：，且当时，.

2 . 已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．
（）设集合，，分别求和．
（）若集合，求证：．
（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

3 . 对于给定的正整数，．对于，，定义．有：当且仅当，称;当
(1)时，，请直接写出所有的，满足．
（2）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值．
（3）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值．

4 . 已知：集合，其中
．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于个．
②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．
（）若为的一个好子集，且，，写出，．
（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．
（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．

5 . 已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：
①从中任取m个集合都有成立；
②从中任取个集合都有成立．
(1)若，，，写出满足题意的一组集合；
(2)若，，写出满足题意的一组集合以及集合；
(3)若，，求集合中的元素个数的最小值．

6 . 给定集合（且），定义点集，若对任意点，存在,使得(为坐标原点）.则称集合具有性质，给出一下四个结论：
①其有性质；
②具有性质；
③若集合具有性质，则中一定存在两数，使得；
④若集合具有性质.是中任一数，则在中一定存在，使得.
其中正确结论有___________(填上你认为所有正确结论的序号)

7 . 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，

集合A＝{x|x＝x₁＋x₂q＋…＋x_nq^n－1，x_i∈M，i＝1，2，…，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

(2)设s，t∈A，s＝a₁＋a₂q＋…＋a_nq^n－1，t＝b₁＋b₂q＋…＋b_nq^n－1，其中a_i，b_i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a_n<b_n，则s<t.

8 . 已知集合，其中，表示中所有不同值的个数.
(1)若集合，求；
(2)若集合，求证：的值两两不同，并求；
(3)求的最小值.（用含的代数式表示）

9 . 对于的子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为．例如：子集的“特征数列”为，，，，，，．
（）子集的“特征数列”的前项和等于__________．
（）若的子集的“特征数列”，，，满足，，；的子集的“特征数列”，，，满足，，，则的元素个数为__________．

10 . 已知数集具有性质:对任意的,,使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)求证;
(3)若,求数集中所有元素的和的最小值.