1 . 某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．
(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．

2 . 已知函数．
(1)证明；
(2)不等式恒成立，求实数a的取值范围．

3 . 设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式.

4 . 若函数满足下列条件：
在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之若不存在，则称函数不具有性质.
（1）证明函数具有性质，并求出对应的的值；
（2）已知函数，具有性质，求实数的取值范围.

5 . 已知函数,
（Ⅰ）证明：为奇函数；
（Ⅱ）判断单调性并证明；
（III）不等式对于恒成立，求实数t的取值范围．

6 . 已知函数．
（1）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．