1 . 变分法是研究变元函数达到极值的必要条件和充要条件，欧拉、拉格朗日等数学家为其奠定了理论基础，其中“平缓函数”是变分法中的一个重要概念．设是定义域为的函数，如果对任意的均成立，则称是“平缓函数”．
(1)若．试判断和是否为“平缓函数”?并说明理由；（参考公式：①时，恒成立；②．）
(2)若函数是周期为2的“平缓函数”，证明：对定义域内任意的，均有；
(3)设为定义在上的函数，且存在正常数，使得函数为“平缓函数”．现定义数列满足：，试证明：对任意的正整数．
（参考公式：且时，．）

2 . 函数．
(1)求和的值，判断的单调性并用定义加以证明；
(2)设是函数的一个零点，当时，，求整数的最大值．

4 . 已知函数
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.

5 . 已知函数.
(1)若的定义域为，求的定义域；
(2)证明：有且只有一个零点，且.

6 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.
(1)记，求证：；
(2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）.

7 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)请证明：函数不存在“黄金区间”；
(2)已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；
(3)如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值.

8 . 已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，证明：有且只有一个零点，且.

10 . 已知函数.
(1)根据定义证明：函数在区间上单调递减；
(2)若实数a满足，求实数a的取值范围.