1 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：对于任意正整数，都有；
(3)设，若，为曲线的两个不同点，满足，且，使得曲线在处的切线与直线AB平行，求证：．

2 . 已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

3 . 已知函数f（x）＝a^x﹣2（a＞0且a≠1）．
(1)求证函数f（x+1）的图象过定点，并写出该定点；
(2)设函数g（x）＝log₂（x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2），试证明函数g（x）在x∈（1，2）上有唯一零点．

4 . 已知函数（其中）,
(1)试判断并证明函数的单调性；
(2)求证：．

5 . 定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y∈R都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>0．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）解不等式：f[log₂（x＋＋6）]＋f（－3）≤0．

6 . 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求证：；
（3）已知a，b∈(－1，1)，且，，求，的值.

7 . 已知定义在R上的函数对任意R 都有
，且当时，
（1）求证：为奇函数；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若，对任意R恒成立，求实数k的取值范围．

8 . 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”.
(1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
(2)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
(3)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，．

9 . 证明下列不等式：（1）求证；
（2）如果，，则

10 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)对任意的，求证：.