1 . 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.

2 . 设为实常数，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，不等式的解集为，不等式的解集为，当时，是否存在正整数，使得或成立．若存在，试找出所有的m；若不存在，请说明理由．

3 . 设是定义在上的函数，若存在，使得在单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．
（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；
（2）若函数是上的单峰函数，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．

4 . 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设为函数的两个零点，求证：.

5 . 为了纪念国庆70周年,学校决定举办班级黑板报主题设计大赛,高二某班的同学将班级长米、宽米的黑板做如图所示的区域划分:取中点,连接,以为对称轴,过两点作一抛物线弧,在抛物线弧上取一点,作垂足为,作交于点.在四边形内设计主题,其余区域用于文字排版,设的长度为米.

(1)求长度的表达式,并写出定义域；
(2)设四边形面积为,求当为何值时, 取最大值,最大为多少平方米?

6 . 已知函数有极值,且函数的极值点是的极值点,其中是自然对数的底数.(极值点是指数函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)若,求函数在处的切线方程；
(2)求关于的函数关系式；
(3)当时,若函数的最小值为,证明: .

7 . 已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.

8 . 设，其中.
（1）证明：，其中；
（2）当时，化简：；
（3）当时，记，，试比较与的大小.

9 . 若函数和同时在处取得极小值，则称和为一对“函数”.
（1）试判断与是否是一对“函数”；
（2）若与是一对“函数”.
①求和的值；
②当时，若对于任意，恒有，求实数的取值范围.

10 . 对于函数的定义域，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调函数；②当时，的值域为，则称区间是函数的“单调倍区间”．已知函数
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）若函数存在“单调倍区间”，求的取值范围．