1 . 如图,是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”,悬索的形状是平面几何中的悬链线,悬链线方程为(为参数,),当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的有双曲正弦函数.(1)类比正弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:______.(用,表示)
(2),不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:有唯一的正零点,并比较和的大小.
(2),不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:有唯一的正零点,并比较和的大小.
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名校
2 . 定义:对于定义在区间上的函数,若存在实数,使得函数在区间上单调递增(递减),在区间上单调递减(递增),则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数,在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点,称使得较小的试验点为好点(若相同,就任选其一),另一个称为差点.容易发现,最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点,把区间分成两部分,并称好点所在的部分为存优区间,设存优区间为,再对区间重复以上操作,可以找到新的存优区间,同理可依次找到存优区间,满足,可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点(或者接近最优点),从第二次操作起,将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点,若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数,则称这样的操作是“优美的”,得到的每一个存优区间都称为优美存优区间,称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作,最后得到优美存优区间,令,我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值,称之为在区间上精度为的“合规近似值”,记作.已知函数,函数.
(1)求证:函数是单峰函数;
(2)已知为函数的最优点,为函数的最优点.
(i)求证:;
(ii)求证:.
注:.
(1)求证:函数是单峰函数;
(2)已知为函数的最优点,为函数的最优点.
(i)求证:;
(ii)求证:.
注:.
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2024-04-18更新
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1235次组卷
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3卷引用:浙江省宁波市2023-2024学年高三下学期高考模拟考试数学试题
3 . 定义满足的实数为函数的然点.已知.
(1)证明:对于,函数必有然点;
(2)设为函数的然点,判断函数的零点个数并证明.
(1)证明:对于,函数必有然点;
(2)设为函数的然点,判断函数的零点个数并证明.
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4 . 已知函数.
(1)当时,讨论的单调性(不必给出证明);
(2)当时,求的值域;
(3)若存在,,使得,求的取值范围.
(1)当时,讨论的单调性(不必给出证明);
(2)当时,求的值域;
(3)若存在,,使得,求的取值范围.
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名校
解题方法
5 . 已知函数为奇函数.
(1)求a的值;
(2)设函数,
i.证明:有且只有一个零点;
ii.记函数的零点为,证明:.
(1)求a的值;
(2)设函数,
i.证明:有且只有一个零点;
ii.记函数的零点为,证明:.
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2024-02-23更新
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575次组卷
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3卷引用:浙江省温州市浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期寒假返校联考数学试题
浙江省温州市浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期寒假返校联考数学试题(已下线)浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题广东省广州市铁一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
解题方法
6 . 已知函数
(1)若函数有4个零点,求证:;
(2)是否存在非零实数m.使得函数在区间上的取值范围为?若存在,求出m的取值范围.若不存在,请说明理由.
(1)若函数有4个零点,求证:;
(2)是否存在非零实数m.使得函数在区间上的取值范围为?若存在,求出m的取值范围.若不存在,请说明理由.
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2024-03-07更新
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175次组卷
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2卷引用:浙江省临平萧山学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题
7 . 设,函数.
(1)若,判断并证明函数的单调性;
(2)若,函数在区间上的取值范围是,求的范围.
(1)若,判断并证明函数的单调性;
(2)若,函数在区间上的取值范围是,求的范围.
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2022-01-21更新
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673次组卷
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2卷引用:浙江省湖州市南浔高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
8 . 已知函数,.
(1)根据定义证明函数是减函数;
(2)若存在两不相等的实数,,使,且,求实数的取值范围.
(1)根据定义证明函数是减函数;
(2)若存在两不相等的实数,,使,且,求实数的取值范围.
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2021-01-31更新
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988次组卷
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4卷引用:浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题(已下线)【新东方】高中数学20210304-024(已下线)【新东方】在线数学103高一上