1 . 已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．
(1)证明：是周期函数．
(2)若当时，，求当时，的解析式．

2 . 我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数的对称中心；
(2)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

3 . 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．
   
(1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间；
(2)写出当时，的解析式；

4 . 已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③.
(1)从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得______，______.
(2)在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围.

5 . 已知函数．
(1)求证：；
(2)已知，且，，求，的值．

6 . 已知，其中为奇函数，为偶函数.
(1)求与的解析式；
(2)判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.

7 . 定义在上的函数满足对任意的，，都有，且当时，．
(1)证明：函数是奇函数
(2)证明：在上是增函数
(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知为上的奇函数，当时，．

(1)求；
(2)求的解析式；
(3)画的草图，并通过图象写出的单调区间．

9 . 已知函数的图象关于原点对称．
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．

10 . 已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，当时，.
(1)若成立，求x的取值范围；
(2)求在区间上的解析式，并写出的单调区间（不必证明）；
(3)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数t的取值范围.