1 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.

2 . 已知等比数列的各项均为正数，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.

3 . 在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明是等差数列，并求的前项和．

4 . 已知函数（，且）满足.
(1)求a的值；
(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.

5 . 已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，设数列的前n项和为，求证：．

6 . 若是不全相等的正数，求证：．

7 . 函数满足：①定义域是； ②当时，；③对任意，总有，
（1）求出的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）写出一个满足上述条件的具体函数.