1 . 定义一种运算，若函数，则使不等式成立的的取值范围是__________．

2 . 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.

3 . 已知函数.
（1）若，且在上存在零点，求实数的取值范围；
（2）若对任意，存在使，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值.

4 . 已知函数，若当时，都能取到最小值，则实数的取值范围是__________.

5 . 在实数集中，定义两个实数、的运算法则△如下：若，则，若，则.
（1）请分别计算和的值；
（2）对于实数，判断是否恒成立，并说明理由；
（3）求函数的解析式，其中，并求函数的最值.（符号“”表示相乘）

6 . 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围；
（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.

7 . 设，函数.
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（写出必要的过程，不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围.

8 . 已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

9 . 已知、是定义在实数集上的实值函数，如果存在，使得对任何，都有，那么称比高兴，如果对任何，都存在，使得，那么称比幸运，对于实数和上述函数，定义.
（1）①，，判断是否比高兴？
②，，判断是否比幸运？
（2）判断下列命题是否正确？并说明理由：
①如果比高兴，比高兴，那么比高兴；
②如果比幸运，比幸运，那么比幸运；
（3）证明：对每个函数，均存在函数，使得对任何实数，都比幸运，也比幸运.

10 . 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①任意的，总有；②；③若，，，总有成立,则称函数为理想函数.
（1）证明：若函数为理想函数，则；
（2）证明：函数，是理想函数；
（3）证明：若函数为理想函数，假定存在，使得且，则.