1 . 设函数，，.
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若，，使成立，求实数的取值范围；
(3)求证：函数在上仅有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，）
参考数据：，，.

2 . 已知函数，
(1)证明：当时，恒成立；
(2)若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.

3 . 已知函数，.
(1)当时，解不等式；
(2)证明：当时，函数有唯一的零点x₀，且恒成立.

4 . 函数．
(1)若曲线存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围；
(2)设，试探究函数的零点个数．

5 . 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.

6 . 已知函数.
(1)若在上是增函数，求实数的取值范围;
(2)若，求证:.

7 . 已知函数．
(1)用单调性的定义证明：在定义域上是减函数；
(2)证明：有零点；
(3)设的零点在区间内，求正整数n．

8 . 已知函数，其中．
（1）设函数，证明：
①有且仅有一个极小值点；
②记是的唯一极小值点，则；
（2）若，直线与曲线相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线的方程．

9 . 已知函数，的导函数是．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点a，b．
①求的取值范围；
②求证：．

10 . 已知函数．
(1)证明：函数在区间内存在唯一的极大值点；
(2)判断函数在上的极值点的个数．
（参考数据：，，）