1 . 若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系．
(1)若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由；
(2)设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围；
(3)当时，证明：．

2 . 我们知道，利用导数证明基本不等式：

(1)；
(2).

3 . 定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.

(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.

4 . 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.

5 . 某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.

   

(1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？
(2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？

6 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

7 . 在平面直角坐标系中，点，点A为动点，以线段为直径的圆与轴相切，记A的轨迹为，直线交于另一点B．
(1)求的方程；
(2)的外接圆交于点（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形，记其面积为．
（i）证明：的重心在定直线上；
（ii）求的取值范围．

8 . 现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的 120 名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：

入住房间的类型	单人间	双人间	三人间
人数	36	60	24

(1)若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这 120 名老年人中随机抽取 10 人，再从这10人中随机抽取4 人进行询问，记随机抽取的4 人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望.
(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为，否则该组标为.记询问的某组被标为的概率为.
（i）试用含的代数式表示;
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值.

9 . 易拉罐可视为圆柱体（包含上底面）.其表面积为定值，设其底面半径为，体积为
(1)求关于的函数解析式，并求其定义域；
(2)当为何值时，取得最大值.并求此时圆柱体的高（用表示）.

10 . 在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为
(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量；
(2)设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题：
①求的值；
②求该信道的信道疑义度的最大值.