1 . 已知函数．
(1)求证：函数在定义域上单调递增；
(2)设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

2 . 已知函数，，在点处的切线方程记为，令．
(1)设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；
(2)关于的方程为正实数）有两个实根，，求证：．

3 . 已知函数.
(1)当，证明：；
(2)设，若，且（），求证：.

5 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

6 . 已知函数，
(1)当，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有两个零点，求证：.

7 . 已知函数.
(1)求的单调区间.
(2)若存在两个不同的零点且.
求证：.

9 . 已知函数是自然对数的底数.
(1)当时，设的最小值为，求证：；
(2)求证：当时，.

10 . 已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的值；
(2)若，且，求证：．