1 . 已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)当时，求证：.

2 . 已知函数，其中.
(1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，；
(2)若有三个零点，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

3 . 已知函数．
(1)证明函数有唯一极小值点；
(2)若，求证：．

4 . 已知函数，其中为实常数．
(1)若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
(2)证明：当时，；
(3)求证：．

5 . 已知函数，，在点处的切线方程记为，令．
(1)设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；
(2)关于的方程为正实数）有两个实根，，求证：．

6 . 已知函数.
(1)当，证明：；
(2)设，若，且（），求证：.

7 . 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，求证：；
（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．

8 . 已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）设，若的所有零点中，仅有两个大于，设为，（）
（1）求证：，．
（2）过点，的直线的斜率为，证明：．

9 . 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．
①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；
②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

10 . 设函数，若对所有的都有成立，求证．