2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点,对于且,且,若都有,则称与关于点互穿;若都有,则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为,导函数分别为与,与的图象在上有且仅有一个交点,与的图象在上有且仅有一个交点.
(1)若,,试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回,证明:与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明:若与关于点互穿,则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息,证明:(为奇数).
(1)若,,试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回,证明:与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明:若与关于点互穿,则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息,证明:(为奇数).
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解题方法
2 . 已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点.
①求实数的取值范围;
②求证:.
(1)当时,讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点.
①求实数的取值范围;
②求证:.
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名校
3 . 已知函数,.
(1)若存在零点,求a的取值范围;
(2)若,为的零点,且,证明:.
(1)若存在零点,求a的取值范围;
(2)若,为的零点,且,证明:.
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4 . 已知函数.
(1)当时,讨论的单调性.
(2)若有两个零点,且,证明:.
(1)当时,讨论的单调性.
(2)若有两个零点,且,证明:.
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解题方法
5 . 已知函数.
(1)求函数在上的值域;
(2)若方程有两个不相等的解,且,求证:.
(1)求函数在上的值域;
(2)若方程有两个不相等的解,且,求证:.
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名校
6 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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解题方法
7 . 已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,讨论的极值;
(2)若是的两个不同的零点,求证:.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,讨论的极值;
(2)若是的两个不同的零点,求证:.
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名校
解题方法
8 . 牛顿在《流数法》一书中,给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下:如图,设r是的根,首先选取作为r的初始近似值,若在点处的切线与轴相交于点,称是r的一次近似值;用替代重复上面的过程,得到,称是r的二次近似值;一直重复,可得到一列数:.在一定精确度下,用四舍五入法取值,当近似值相等时,该值即作为函数的一个零点.(1)若,当时,求方程的二次近似值(保留到小数点后两位);
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想,直线常常取为曲线的切线或割线,求函数在点处的切线,并证明:;
(3)若,若关于的方程的两个根分别为,证明:.
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想,直线常常取为曲线的切线或割线,求函数在点处的切线,并证明:;
(3)若,若关于的方程的两个根分别为,证明:.
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解题方法
9 . 已知函数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)时;
(ⅰ)若,求的取值范围;
(ⅱ)证明:.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)时;
(ⅰ)若,求的取值范围;
(ⅱ)证明:.
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10 . 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)当时,,求的最大值;
(3)若在区间存在零点,求的取值范围.
(1)当时,证明:;
(2)当时,,求的最大值;
(3)若在区间存在零点,求的取值范围.
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