名校
1 . 已知函数
，其中
.
（1）当
时，求不等式
在
上的解；
（2）设
，
关于直线
对称的函数为
，求证：当
时，
；
（3）若函数
恰好在
和
两处取得极值，求证：
.
，其中.（1）当
时，求不等式在上的解；（2）设
，关于直线对称的函数为，求证：当时，；（3）若函数
恰好在和两处取得极值，求证：.
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2 . 对数函数与指数函数的图象与性质．
过点
的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．
(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点附近非常接近曲线吗？当
很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算
以及
的近似值．
(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线
行在曲线上方，即对所有的
，不等式
恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数
的最小值．）
(4)对数曲线：关于直线
的轴对称图形
是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？
(5)为什么对数曲线在点处的切线的斜率
“正好”等于1？
因为当
时，
斜率．
又因为当
，
，因此
．若将对数的底数取
，则切线的斜率
．
试仿此求出曲线
在点处的切线方程．形式上复杂吗？
过点的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点
附近非常接近曲线吗？当很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算以及的近似值．(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线
行在曲线上方，即对所有的，不等式恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数的最小值．）(4)对数曲线：
关于直线的轴对称图形是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？(5)为什么对数曲线
在点处的切线的斜率“正好”等于1？因为当
时，斜率．又因为当
，，因此．若将对数的底数取，则切线的斜率．试仿此求出曲线
在点处的切线方程．形式上复杂吗？
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名校
解题方法
3 . 给出定义:设
是函数
的导函数，
是函数的导函数，若方程
有实数解
，则称
)为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
，讨论函数
的单调性并求极值.
(2)已知函数
，其中
.
（i）求
的拐点；
（ii）若
，求证:
.
是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”.(1)经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.(2)已知函数
，其中.（i）求
的拐点；（ii）若
，求证:.
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2024-02-21更新
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519次组卷
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2卷引用：云南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷
名校
4 . 给出定义：设
是函数的导函数，
是函数的导函数，若方程
有实数解，则称
为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.
(1)若函数
，求函数
图象的对称中心；
(2)已知函数
，其中.
（ⅰ）求
的拐点；
（ⅱ）若，求证：
.
是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.(1)若函数
，求函数图象的对称中心；(2)已知函数
，其中.（ⅰ）求
的拐点；（ⅱ）若
，求证：.
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解题方法
5 . 已知函数
．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)设函数
，若关于
的方程
有两个不同的解
，
，且
．当时，证明：
．
．(1)若
恒成立，求的取值范围；(2)设函数
，若关于的方程有两个不同的解，，且．当时，证明：．
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6 . 
，
，
，
．
(1)若
，
，证明：
；
(2)是否存在
使
有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由．
，，，．(1)若
，，证明：；(2)是否存在
使有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由．
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名校
7 . 已知
(1)当
时，求的单调性；
(2)求证：
有唯一实数解．
(1)当
时，求的单调性；(2)求证：
有唯一实数解．
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解题方法
8 . 已知函数
.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若方程
的两个解为、，求证：
.
.(1)求函数
的单调区间和极值；(2)若方程
的两个解为、，求证：.
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9 . 已知曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求a，c的值；
(2)证明：
(3)若关于x的方程
有两个实数解
，证明：
.
在点处的切线方程为.(1)求a，c的值；
(2)证明：
(3)若关于x的方程
有两个实数解，证明：.
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2023-04-03更新
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291次组卷
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2卷引用：湖北省咸宁市鄂南高级中学2022-2023学年高二下学期阶段性检测(9)数学试题
解题方法
10 . 已知函数
．
(1)若
，求方程
的解；
(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为
，求的取值范围并证明
．
．(1)若
，求方程的解；(2)若
有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
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2023-03-26更新
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1557次组卷
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5卷引用：福建省三明市优质高中校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
福建省三明市优质高中校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试数学试题（已下线）专题07 导数（已下线）专题06 函数与导数（已下线）专题19 押全国卷（理科）第21题 导数
