解题方法
1 . 利用曲线的切线进行放缩：设
上任意一点
的横坐标为
，则过该点的切线方程为
，即
，由此可得与
有关的不等式
，其中
，等号当且仅当
时成立；设
上任意一点
的横坐标为
，则过该点的切线方程为
，即
，由此可得与
有关的不等式：
，其中
，等号当且仅当
时成立，设
是
在点
处的切线
(1)求的解析式
(2)求证：
(3)设
，若
对
恒成立，求
的取值范围．
上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线(1)求
的解析式(2)求证：
(3)设
，若对恒成立，求的取值范围．
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解题方法
2 . 已知函数
.
(1)若直线
是曲线
的切线，求实数的值；
(2)若
对任意实数
恒成立，求的取值范围；
(3)若
，且
，求实数
的最大值.
.(1)若直线
是曲线的切线，求实数的值；(2)若
对任意实数恒成立，求的取值范围；(3)若
，且，求实数的最大值.
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3 . 已知函数
(1)求曲线在点
处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线
的下方；
(3)若函数
在区间
上无零点，求的取值范围.
(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)求证：函数
的图象位于直线的下方；(3)若函数
在区间上无零点，求的取值范围.
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4 . 若实数集
对任何
，
，均有
，则称
具有伯努利型关系.
(1)若集合
，
表示自然数集，判断
是否具有伯努利型关系；
(2)设集合
，
，若
具有伯努利型关系，求非负实数
的取值范围；
(3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：
.
对任何，，均有，则称具有伯努利型关系.(1)若集合
，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系；(2)设集合
，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围；(3)设
为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：.
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5 . 设函数
.
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求的最大值；
(3)若存在两个零点
，
，求的取值范围.
.(1)当
时，求在点处的切线方程；(2)当
时，求的最大值；(3)若
存在两个零点，，求的取值范围.
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解题方法
6 . 在区间
上，若函数为增函数，而函数
为减函数，则称函数为“弱增函数”.已知函数
.
(1)判断在区间
上是否为“弱增函数”；
(2)设
，且
，证明：
；
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增函数”.已知函数.(1)判断
在区间上是否为“弱增函数”；(2)设
，且，证明：；(3)当
时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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解题方法
7 . 已知
．
(1)求函数的极值；
(2)求证：对任意正整数n，有
；
(3)记
，求整数a，使得
．
．(1)求函数
的极值；(2)求证：对任意正整数n，有
；(3)记
，求整数a，使得．
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8 . 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知
，
.
(1)求函数
的单调区间
(2)若数列
（
为自然底数），
，
，
，
，求使得不等式：
成立的正整数的取值范围
(3)数列
满足
，
，
.证明：对任意的，
.
，.(1)求函数
的单调区间(2)若数列
（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围(3)数列
满足，，.证明：对任意的，.
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9 . 若定义域为
的函数满足
是上的严格增函数，则称是一个“
函数”.
(1)分别判断
，
是否为函数，并说明理由：
(2)设
，若函数
是函数，判断
和
的大小关系，并证明：
(3)已知函数
是函数，过
可以作函数的两条切线，证明：
.
的函数满足是上的严格增函数，则称是一个“函数”.(1)分别判断
，是否为函数，并说明理由：(2)设
，若函数是函数，判断和的大小关系，并证明：(3)已知函数
是函数，过可以作函数的两条切线，证明：.
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2023-11-10更新
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208次组卷
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3卷引用：上海市位育中学2024届高三上学期期中数学试题
上海市位育中学2024届高三上学期期中数学试题（已下线）第五章 函数的概念、性质及应用（压轴必刷30题9种题型专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
10 . 已知函数
．
(1)当
时，求函数
的图像在点
处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明：当
时，
．
．(1)当
时，求函数的图像在点处的切线方程；(2)讨论函数
的单调性；(3)证明：当
时，．
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